Método de Newton - Raphson

Es también conocido simplemente como método de Newton y es otro método de iteraciones para resolver ecuaciones f(x) = 0, donde f es diferenciable. La idea es la de construir una aproximación a la gráfica de f mediante tangentes apropiadas. Usando un valor Xo obtenido de la gráfica de f, sea x1 el punto de intersección del eje x y la tangente a la curva de f en Xo.

Entonces: 

De donde:

Y así de manera sucesiva, de tal forma que la ecuación general del método de Newton – Raphson es:

Práctica: Método de Aproximaciones Sucesivas

Retomemos la definición y recordemos que el método de Aproximaciones sucesivas consiste en encontrar una raíz de una ecuación algebraica mediante la modificación de la misma y realizando un determinado número de iteraciones que indiquen que el sistema tiende a converger.

La ecuación que usamos es:

 f(x) =  x - cos (x)

o bien:

x = cos (x)

Aquí esta el código usado, donde al igual que en la práctica anterior usamos un ciclo (for) para repetir n numero de veces el algoritmo.

Resultados:

con 3 iteraciones:

Como conclusión es importante recalcar que en este método para los resultados que registramos en la libreta y en la evaluación por parte del profesor utilizamos en redondeo simétrico y truncado por facilidad, sin embargo así como hemos venido viendo el error aumenta como tal, aún así dependerá de los factores de precisión en nuestra calculadora.

Método de Aproximaciones sucesivas

Supóngase la siguiente ecuación:

x = F(x)

Generalmente esto se puede hacer de muy diversas maneras. Por ejemplo, si.

En donde c ³ 0, podemos sumar x en ambos miembros para obtener

Como un último ejemplo, podemos re acomodar la ecuación para obtener

Debe ser obvio que los valores de x que son soluciones a estas ecuaciones son  ± Öc.

Sea Xo una aproximación inicial a la solución de x = F(x) entonces se tomará como x = F(Xo)

Procediendo de esta  manera, la en-ésima aproximación, llamada también n-ésima iteración, es

La cuestión fundamental es: ¡Convergen los valores de Xn a la socucion correcta de x = F(x) conforme n crece?

Representación diagramática del método de aproximaciones sucesivas para 0 < f '(x) < 1.

Considerando la representación geométrica del proceso. Cuando tratamos de resolver x = F(x) estamos buscando la intersección de la curva y = f (x) (segundo miembro de la ecuación) y la línea y = x (primer miembro). Obsérvece la representación geométrica en la que la curva y = f(x) no está especificada. Sea x = a el valor de la abscisa del punto de intersección; entonces a es una raíz de la función, la cual naturalmente no conocemos de antemano. 

Raíces de Ecuaciones

La determinación de las raíces de las ecuaciones es uno de los problemas más antiguos de las matemáticas y se encuentra con frecuencia en la computadora moderna, ya que es necesario determinar raíces de ecuaciones con una gran variedad de aplicaciones.

Considérese la ecuación cuadrática simple

Decimos que:

Son raíces de esta ecuación porque, para estos valores de x, la ecuación cuadrática queda satisfecha. En el caso más general se nos da una función de x, F(x) y deseamos encontrar un valor de x para el que  F(X) = 0

La función F(x) puede ser algebraica o trascendente; generalmente suponemos que es diferenciable.

En la práctica, trataremos con funciones cuyas raíces no tienen una solución cerrada simple, como en el caso de la ecuación cuadrática. Entonces recurrimos a métodos de aproximación de las raíces los cuales involucran dos pasos fundamentales:

1.- Determinación de una raíz aproximada.

2.- Refinamiento de la aproximación hasta algún grado de precisión preestablecido.

Práctica: Valor Intermedio

En esta ocasión la práctica correspondiente a valor intermedio nos determinó un cierto número de iteraciones con respecto a una función, en el compilador usamos una estructura for para el ciclo de repeticiones de las sumas. La función determinada en clase fue la siguiente:

Aquí se presenta el código usado:

Resultados:

*

Como conclusión es importante mencionar que se dice que un proceso de iteración definido por:  es convergente para un Xo, si la sucesión Xo, X1,... correspondiente es convergente.

Teorema del valor intermedio

Dicho Teorema establece que, sea f una función derivable real que satisface las siguientes propiedades:

  * f es continua en el intervalo cerrado [a,b]

  * f es derivable en el intervalo abierto (a,b).

Es decir si f es una función diferenciable sobre el intervalo [a,b], entonces existe un número c entre a y b tal que:

  * f’( c ) =   f (b) – f (a)

                            b – a

o lo que equivale,

  * f (b) – f (a) = f ’ (c) (b – a)

Solución de ecuaciones por Iteración.

En las matemáticas de Ingeniería, frecuentemente podemos hallar soluciones de ecuaciones de la forma:

f(x) = 0,

es decir, números Xo tales que f(Xo) sea igual a cero; aquí f es una función dadas. Ejemplos son: 

todas pueden escribirse de la forma f(x) = 0. Las dos primeras son ecuaciones algebraicas porque la f correspondiente es un polinomio, y en este caso las soluciones se llaman también raíces de las ecuaciones. Las otras ecuaciones se llaman trascendentes porque contienen funciones trascendentes. Fórmulas que den los valores numéricos exactos de las soluciones sólo existirán en casos muy sencillos. En la mayoría de los casos, tienen que usarse métodos de aproximación, en particular métodos de iteración. 

Un método de iteración numérico es un método tal que se eligen un Xo arbitrario y se calcula una sucesión Xo, X1, X2,.. de manera recurrente a partir de una relación de la forma:

  

Donde g está definida en algún intervalo que contiene a Xo y el recorrido de g se encuentra en ese intervalo. De donde, se calculan sucesivamente: X1 = g(Xo), X2 = g(X1), X3 = g(X2),... 

En esta sección, tanto el dominio como el recorrido de g(x) estarán sobre la recta real, posteriormente y aumentando la complejidad de un problema podrían ser ambas variables vectoriales.