Método de Aproximaciones sucesivas

Supóngase la siguiente ecuación:

x = F(x)

Generalmente esto se puede hacer de muy diversas maneras. Por ejemplo, si.

En donde c ³ 0, podemos sumar x en ambos miembros para obtener

Como un último ejemplo, podemos re acomodar la ecuación para obtener

Debe ser obvio que los valores de x que son soluciones a estas ecuaciones son  ± Öc.

Sea Xo una aproximación inicial a la solución de x = F(x) entonces se tomará como x = F(Xo)

Procediendo de esta  manera, la en-ésima aproximación, llamada también n-ésima iteración, es

La cuestión fundamental es: ¡Convergen los valores de Xn a la socucion correcta de x = F(x) conforme n crece?

Representación diagramática del método de aproximaciones sucesivas para 0 < f '(x) < 1.

Considerando la representación geométrica del proceso. Cuando tratamos de resolver x = F(x) estamos buscando la intersección de la curva y = f (x) (segundo miembro de la ecuación) y la línea y = x (primer miembro). Obsérvece la representación geométrica en la que la curva y = f(x) no está especificada. Sea x = a el valor de la abscisa del punto de intersección; entonces a es una raíz de la función, la cual naturalmente no conocemos de antemano.