Práctica: Valor Intermedio

En esta ocasión la práctica correspondiente a valor intermedio nos determinó un cierto número de iteraciones con respecto a una función, en el compilador usamos una estructura for para el ciclo de repeticiones de las sumas. La función determinada en clase fue la siguiente:

Aquí se presenta el código usado:

Resultados:

*

Como conclusión es importante mencionar que se dice que un proceso de iteración definido por:  es convergente para un Xo, si la sucesión Xo, X1,... correspondiente es convergente.

Teorema del valor intermedio

Dicho Teorema establece que, sea f una función derivable real que satisface las siguientes propiedades:

  * f es continua en el intervalo cerrado [a,b]

  * f es derivable en el intervalo abierto (a,b).

Es decir si f es una función diferenciable sobre el intervalo [a,b], entonces existe un número c entre a y b tal que:

  * f’( c ) =   f (b) – f (a)

                            b – a

o lo que equivale,

  * f (b) – f (a) = f ’ (c) (b – a)

Solución de ecuaciones por Iteración.

En las matemáticas de Ingeniería, frecuentemente podemos hallar soluciones de ecuaciones de la forma:

f(x) = 0,

es decir, números Xo tales que f(Xo) sea igual a cero; aquí f es una función dadas. Ejemplos son: 

todas pueden escribirse de la forma f(x) = 0. Las dos primeras son ecuaciones algebraicas porque la f correspondiente es un polinomio, y en este caso las soluciones se llaman también raíces de las ecuaciones. Las otras ecuaciones se llaman trascendentes porque contienen funciones trascendentes. Fórmulas que den los valores numéricos exactos de las soluciones sólo existirán en casos muy sencillos. En la mayoría de los casos, tienen que usarse métodos de aproximación, en particular métodos de iteración. 

Un método de iteración numérico es un método tal que se eligen un Xo arbitrario y se calcula una sucesión Xo, X1, X2,.. de manera recurrente a partir de una relación de la forma:

  

Donde g está definida en algún intervalo que contiene a Xo y el recorrido de g se encuentra en ese intervalo. De donde, se calculan sucesivamente: X1 = g(Xo), X2 = g(X1), X3 = g(X2),... 

En esta sección, tanto el dominio como el recorrido de g(x) estarán sobre la recta real, posteriormente y aumentando la complejidad de un problema podrían ser ambas variables vectoriales.